Da es extrem schwierig ist, „Störungen“ (einschließlich Musik) aus Aufnahmen wieder herauszubekommen würde ich dringend empfehlen, die Musik nicht über Lautsprecher zu spielen, sondern die Stimmen sauber aufzunehmen.

Hintergrundmusik kann man später wieder dazuzmischen. Dazu ist einfach - raus ist schwierig.
Das ist andersherum als beim Friseur (da ist mehr wegschneiden einfach, 'dranwachsen aber aufwändig).

Wenn die Musik für „interne“ Stimmung verwendet werden soll: warum nehmt ihr die dann nicht zusätzlich auf einer Parallelspur (das H6 hat ja noch genug frei) auf - und spielt die gleichzeitig über einen kleinen Kopfhörerverstärker in Ohrhörer. Die kann man relativ dezent tragen, ggfs. sogar nur in einem (kameraabgewandten) Ohr und unter dem Shirt versteckt.

Zusätzlich kann man auch ein drittes Mikrofon für die „Umgebungsgeräusche“ nutzen - und die dann auch nach Gusto dazumixen (oder weglassen). Hierfür könnte man auch simpel den X/Y- oder M/S-Aufsatz vom H6 verwenden.

Dann sind die Stimmen sauber, und man hat aber trotzdem den Soundtrack und Umgebung synchron - und kann jeweils so viel untermixen (oder weglassen) wie man mag.